じゃんけん


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じゃんけんであいこにならないのは、出された手が ちょうど2種類のときである。
手の出し方は全部で3^n通りで、手がちょうど2つになる 出し方は3×(2^n-2)通りなので、n人でじゃんけんすると、 あいこになる確率は、Draw(n)=1-(2^n-2)/3^(n-1)になる。
あいこにならない場合、出された手をすべて反対にすると 勝ち負けがひっくり返るので、勝つ確率と負ける確率は 同じで、Win(n)=Lose(n)=(2^(n-1)-1)/3^(n-1)だ。

n→∞でDraw(n)→1なので、人数が増えれば増えるほど、 じゃんけんで決着がつかなくなる。
「キュー」を加えるとしたら、あいこに勝敗をつける ようなルールを設定すると、目的が書きやすいと思う。

「キュー」を含まない手があいこなら「キュー」の勝ちで、 あいこでないなら「キュー」以外で普通のじゃんけんとして 勝敗をつけるというルールを考える。
全員「キュー」ならあいこ、一人だけ「グ|チ|パ」なら その人の一人勝ちとする。

n人でじゃんけんしていて、n-m人が「キュー」を出すと、 「キュー」の勝率は、Draw(m)=1-(2^m-2)/3^(m-1)、 「グ|チ|パ」の勝率は、Win(m)=(2^(m-1)-1)/3^(m-1)だ。
Draw(2)=1/3、Draw(3)=1/3、Draw(4)=13/27、…、 Win(2)=1/3、Win(3)=1/3、Win(4)=7/27、…、のように、 常にDraw(m)≧Win(m)で、mが大きくなるにつれて差は どんどん開いていくので、「グ|チ|パ」を出す人間が多い ほど、「キュー」の勝率が高くなる。
「グ|チ|パ」を出すのが有利になるのは、n人中n-1人が 「キュー」を出して、自分一人だけが「グ|チ|パ」を出す 一人勝ちの状況に限られる。
「キュー」のあいこが続く中、抜け駆けしようとした人間 同士が爆死するだろうと予想され、もはやじゃんけんよりも、 たけのこニョッキに近い。

少しルールを変更し、「キュー」がいてあいこでない 場合には、「キュー」以外の人間が全員勝つとしてみる。
つまり、「キュー」がいてあいこでなかったとき、 既に出ている手で勝敗をつけるのではなく、「キュー」 以外の全員でもう一回じゃんけんをやって勝敗をつける ということだ。

この場合、「グ|チ|パ」の勝率が2倍になるので、n人中 4人以下が「グ|チ|パ」なら、「グ|チ|パ」を出した方が 勝率が高くなる。
自分一人だけが「グ|チ|パ」でないと分が悪く、もはや たけのこニョッキと化すであろう元のルールに比べると、 だいぶじゃんけんの面影が残っている。

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『じゃんQ』

  1. 「グー」「チョキ」「パー」「キュー」の四通りの手を出せる
  2. 「キュー」は人差し指と小指だけを立てた形状とする（9=0b1001）
  3. 「キュー」がない場合の勝敗はじゃんけんと同じとする
  4. 「キュー」がある場合、残りの手が一つだけなら、その手の勝ちとする
  5. 「キュー」がある場合、残りの手があいこなら「キュー」の勝ちとする
  6. 「キュー」がある場合、残りの手があいこでなければ「キュー」だけ負けとする
  7. 「キュー」だけの場合、あいことする