正*数角形

\begin{center} {\large\textbf{The Regular *-number-gon}} \end{center} 与えられた有理数$r=\frac{m}{n}$に対して \begin{align*} \theta &= 2 \pi \times \frac{1}{r}\\ &= \frac{2 \pi n}{m} \end{align*} として、$\theta_0=0$を基準に$\theta_k=k\theta$回転して得られる点を順に $P_0, P_1, \dotsc$とする。
この点列$\{P_k\}$を順に結んでできる図形を正$r$角形と定義する。
例えば星型は正$\frac{5}{2}$角形乃至正$\frac{5}{3}$角形となる。

このとき、一般に正$\frac{m}{n}$角形と正$\frac{m}{\left| m-n \right|}$角形は 同じ図形となる。

これを無理数に拡張すると、正無理数角形は閉じることがなく、例えば正$\pi$角形は 正三角形を僅かずつずらして回転したような図形になり、その頂点は外接円の円周上に 稠密に存在することがわかる。

複素数に拡張すると、正$x+iy$角形は$\theta$に実部と虚部を含むことになり、最早 平面上に表現できなくなる。$\theta$の実部を平面上の回転角とし、虚部を平面からの 回転角として表現すれば、正複素数角形は球面上に頂点をもつ図形となり、$x,y$がともに 有理数ならば図形は閉じる\footnote{$x=\frac{m}{n},y=\frac{p}{q}$とすると、 正$x$角形は外接円上を$n$周して元の頂点で図形を閉じる。正$x+yi$角形では$\theta= 2\pi \times \frac{1}{x+yi} = 2\pi\frac{x}{x^2+y^2}-2i\pi\frac{y}{x^2+y^2}$ であるから、実部回転角は$\frac{x}{x^2+y^2}$の分子$mnq^2$周後に元の頂点と 同じになり、虚部回転角は$\frac{y}{x^2+y^2}$の分子$n^2pq$周後に元の頂点と 同じになる。よって少なくとも両者の公倍数である$mn^2pq^2$周後に頂点は最初の頂点に一致し、 図形が閉じることになる。但し、m=0の場合は$n^2pq$周後、p=0の場合は$mnq^2$周後 である。}。

このようにして描いた正$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$角形はやはり美しいのだろうか。